1.高次方程暴力计算法
2.学习笔记群论(置换群)计数之Burnside引理 & Pólya定理
3.有哪些曾被认为是暴力暴力np难(np-hard),最终却比较完美地解决了的
4.概率计算公式？

高次方程暴力计算法

       暴力计算法在高次方程中的应用

       高次方程是数学中的一种重要概念，通常指的源码是次数高于2次的多项式方程。在实际问题中，公式高次方程往往具有重要的代码应用，例如物理学中的暴力暴力牛顿运动定律、电磁学中的源码菱形指标源码麦克斯韦方程、经济学中的公式需求曲线等。由于高次方程的代码解析解往往十分复杂，因此需要运用暴力计算法来求解。暴力暴力本文将介绍暴力计算法在高次方程中的源码应用。

       一、公式高次方程的代码暴力求解方法

       对于一般的高次方程，往往难以通过代数方法求解解析解。暴力暴力因此，源码我们需要考虑通过暴力计算法求解。公式高次方程的暴力求解方法通常包括以下几个步骤：

       1. 将方程化为标准形式。将高次方程化为标准的多项式方程，消去可能存在的分式和根式。

       2. 粗略的求解范围。通过试错的方法，找到可能的解的范围，缩小求解范围。

       3. 构造求解函数。根据方程的特点，构造一个函数式，代入求解范围中，通过迭代方法逐步趋近于解。

       4. 求解。根据精度要求，逐渐提高求解函数的迭代次数，逼近方程的解，得出近似解。

       二、暴力计算法的运用实例

       下面以求解简单的二次方程为例，介绍如何运用暴力计算法。如何求解方程：

       $$ ax^2 + bx + c = 0 $$

       其中a, b, c均为实数。

       将方程变形，可得：

       $$ x^2 + \\frac{ b}{ a} x + \\frac{ c}{ a} = 0 $$

       利用求根公式，网页贺卡源码可得：

       $$ x = \\frac{ -b \\pm \\sqrt{ b^2-4ac}}{ 2a} $$

       因此，我们可以构造如下的求解函数：

       ```

       double solve(double a, double b, double c) {

       double delta = b * b - 4 * a *c;

       return (delta >= 0) ? (-b-sqrt(delta))/2/a : 0;

       }

       ```

       在此基础上，我们可以进一步优化求解函数，例如改进精度、缩小求解范围等，从而得到更精确的解。需要注意的是，对于高次方程，我们需要根据具体问题设计不同的求解函数。

       三、高次方程的应用

       高次方程在实际问题中具有广泛的应用。例如在物理学中，某个物体的运动轨迹可能满足高次方程；在金融学中，我们需要根据股票价格的变化情况，预测未来股票价格的趋势，需要运用高次方程等。由于高次方程往往较难求解，因此暴力计算法在高次方程的应用中具有重要的地位。

       综上所述，暴力计算法在高次方程中的应用不可忽视。在实际问题中，我们需要根据具体情况选用不同的求解函数，并考虑如何优化求解过程，从而得到更精确的解。我们希望本文能够对读者有所启发，为您在高次方程的求解中提供一些帮助。

学习笔记群论(置换群)计数之Burnside引理 & Pólya定理

       OI中，置换群常用于统计涉及“本质不同”的计数问题，如Luogu P题。该题给定一个点数、边数和颜色数，询问有多少种本质不同的顶点染色方案，答案需对某个数取模。这里，“本质不同”的定义为：染色方案不能通过旋转与其它染色方案相同。

       所谓置换群，是硬盘读写源码由置换构成的群，并由此引申出用于计数的Burnside引理和Pólya定理。

       群由一种集合与一种二元运算组成，记作G，G表示集合，*表示一种二元运算。群需要满足如下性质：

       子群 对于群G，H为G的子群，若H⊆G，则称H为G的子群。

       陪集 一个群G的子群H的陪集经过G中的元素g的变换（左乘或右乘）得到的子集。

       左乘（左陪集）：aH

       右乘（右陪集）：Ha

       用|G|表示G中H的左陪集数（右陪集等价）

       陪集的性质（在后面的证明会用到）：

       阶 群G的阶为其元素的个数，记作|G|，群中元素的阶为使得g^n=e的最小的正整数n，若无法达到，则为无限阶。

       有限群的所有元素都是有限阶，无限群可有无限阶。

       拉格朗日定理 若H为G的子群，则|H|整除|G|。由陪集的性质1，2，3可以得到。

       置换群 由置换组成的群。运算为置换乘法，满足上述4条性质。

       下面进入正题。

       对于有限集合X，S为一些从X到X的映射的集合，G为X上的置换群，S在G作用下封闭。

       [公式] 表示X在G作用下产生的等价类的集合，对于等价类中的x在G作用下可以相等，即存在g∈G使得g.x=x，不难发现|X/G|即为要求的“本质不同”的元素的数量。

       对此，有：

       [公式] 其中X^G表示G中不动点构成的集合，称为不动点集。c 直销源码

       用文字表述就是：X在G作用下产生的等价类的数量即为X中每一个元素对G作用产生的不动点的数量和的平均数。

       放个oi-wiki上的例子便于理解：

       下面证明这个式子。

       轨道稳定子定理：[公式] 定义同上，[公式]，[公式]，[公式]，称H为稳定子，X的轨道为[公式]，则有：

       [公式] 证明：

       不难证明H为G的子群：有拉格朗日定理有，|H|整除|G|，故只需证明[H]。

       考虑证明[H]到[X/H]的左陪集存在双射：

       若g∈H，那么g.x=x，故g∈[x]，即g[x]∈[x]。

       反之亦然，故每一个g∈[x]可对应一个陪集g[x]，显然有逆映射，故[H]与[X/H]存在双射，原命题成立。

       Burnside引理证明：原式枚举变换g的不动点，等价于枚举稳定子，[公式]

       由轨道稳定子引理，得[X/G]式子中对于同一个等价类[x]中的元素可相互到达，因此其轨道的大小为|G|[x]，故得证。

       在Burnside引理前置条件相同的情况下，S为所有从X到Y的映射，则：

       [公式] 其中n表示置换g能拆成不相交的循环置换的数量。

       证明：

       由于“所有”的限制，在Burnside引理中，S的需要每一个循环置换上的元素都映射到Y中同一个元素，有n种不同选择，故[公式]。

       回到开头的题，对于点集X到颜色集合Y的映射的集合S在置换群G表示转动k次作用下本质不同的方案数。

       对于置换g，无敌计划源码转动k次，可以循环k次，即g^k，因此可以得到[公式]。

       故对于后面的和式，暴力枚举求[公式]复杂度[公式]，实际达不到这个上限，能通过本题。

       实际上正确的做法是预处理出g的质因数，通过搜索得到g所有因数的[公式]值，做到[公式]。

有哪些曾被认为是np难(np-hard),最终却比较完美地解决了的

       理论上解决NP难问题通常有以下方式：

       可以放宽其中一条或者多条来尽可能地高效求解NP难问题。

       如果不要求必须严格精确地求解，那么可以使用近似算法，在多项式时间内得到近似解，近似解与精确解相近但不是最优的。算法得到的解与最优解的比值的上界称为近似率，近似率越小，算法越优秀。在近似算法领域，不同问题也有不同的“难度”：

       FPTAS问题包括一些背包问题（如背包）、子集和计数问题等等。

       如果不要求必须使用确定型算法，可以使用概率算法等能力更强的计算模型，但是由于BPP vs P也是open的，所以概率算法目前能做到的有限。但是概率方法对于近似算法或者后面介绍的精确算法来说是十分有力的工具。

       由于NP难问题不太可能在多项式时间内判定，我们可以不要求在多项式时间内求解，根据时间复杂度有

       大多数平面图上的图论问题（如平面图上点覆盖）都有亚指数时间的精确算法。NP难问题可以在拟多项式时间内判定会违背ETH，因此目前只知道一些不太可能是P且不太可能是NP难的问题可以在拟多项式时间内判定，如竞赛图上的支配集问题。

       关于放宽复杂度这一方向，也可以考虑其参数复杂性（parameterized complexity）。

       参数复杂性的系统性理论是世纪年代由Downey 和 Fellows 建立并发展起来的。该理论可以对NP-hard问题进行更加精细的分类，也可以用于更高效地精确求解NP-hard问题。

       在经典的复杂度理论中，通常使用输入长度作为复杂性的衡量标准。而参数复杂性则是以实例（instance）的一个或多个参数为复杂性的衡量标准。下面我们分条阐述这样做的目的。

       理论上，一个实例的输入长度是将该实例编码到图灵机（Turing machine）的字母表（alphabet）上以后的字符串长度。而在讨论算法时，问题本身会赋有更自然的“参数”来表征其输入的规模，例如在图论问题中，通常我们以点数[公式] 来（或边数 [公式] ）来衡量实例的大小。当然，在多项式意义下，使用点数、边数还是图的字符串编码长度是等价的，但是更多的一些问题上，这一点不一定成立。如SAT问题，经典的是使用变量数量 [公式] 来衡量，据笔者所知，变量数量与其输入长度之间在多项式意义下并不等价。

       严格地讲，在经典的复杂性理论中，所刻画的是一个问题在仅仅根据实例长度（来度量的规模）的前提下，最坏情况的复杂度。然而在具体求解时，往往已知的不仅仅是实例长度这一个参数。仍然拿图问题举例，我们可能已知图规模：点的数量，边的数量；或者可能知道一些图结构：最大度，树宽（treewidth）；甚至可能知道输入的图类：二部图（bipartite graphs）、平面图（planar graphs）等。那么，我们想知道在已知这些信息的情况下是否有更加适配的算法。这样的好处在于，基于输入实例的一个参数[公式] ，我可以设计一个 [公式] 时间的算法，当参数 [公式] 时，会比形如 [公式] 的算法高效。至少根据参数的具体值我们可以有更多选择而折中。

       考虑一个NP-hard问题，实例[公式] 的长度 [公式] 。假设暴力求解算法的复杂度为 [公式] ，而目前最快的算法可以达到 [公式] 。假设此时有一个参数 [公式] ，暴力求解的复杂度为 [公式] ，但是不太可能，甚至不存在时间复杂度 [公式] （ [公式] ）的算法。这说明该参数能够很“准确”地反应问题规模与困难性之间的联系。继续拿SAT问题来举例，以变量个数 [公式] 来衡量，暴力求解复杂度为 [公式] ，并且长期以来，无法做到比暴力求解算法做得更好。说明变量个数确实是一个非常有价值的参数。

       考虑参数化语言类与固定参数可计算。设[公式] 为字母表 [公式] 上的语言（language），即 [公式] ，其中 [公式] 为字母表 [公式] 上的有限长字符串集合。判定性问题可以用 [公式] 刻画，输入 [公式] 当且仅当 [公式] 为真。我们知道经典的复杂度类，都是由语言组成的类，例如P类就是指存在多项式时间算法判定的语言类。

       定义1（参数化） [公式]的参数化（parameterization）是一个可计算函数 [公式] 。[公式] 上的参数化语言类是二元组 [公式] 。参数化语言类的实例 [公式] （ [公式] ）。

       例如SAT问题举例，在SAT问题中，输入为一个布尔式[公式] ，要求判定是否存在变量 [公式] 的一组赋值，使得布尔式为真。那么SAT问题的实例[公式] ，所有可通过变量赋值使得值为真的布尔式构成的语言记作 [公式] ，我们知道 [公式] 是NP-hard的。考虑参数化

       [公式]

       那么[公式] 便是SAT问题的一个参数化。通常也称之为SAT的一个（以 [公式] 为参数的）参数问题。

       求解参数问题的算法称为参数算法（parameterized algorithms）。

       定义2（固定参数可计算）对于一个参数问题 [公式] ，若存在可计算函数 [公式] ，使得对于任意 [公式] 的实例 [公式] 可在 [公式] 内求解，则称 [公式] 是固定参数可计算（fixed-parameterized Tractable，FPT）的。

       实际上，固定参数可算存在几种基于一致性而产生的不同强弱的定义，这里我们不做展开。注意到，对于参数问题，实例的输入的长度是否需要包含参数的长度对是否为FPT是没有影响的，因为

       [公式]

       因此，当参数化本身是多项式时间可计算的时，我们总可以将其作为输入的一部分。

       根据定义，我们可以看到FPT的刻画能力是比较强的。

       性质1 对于常函数 [公式] ，有 [公式] 是FPT的当且仅当 [公式] 是多项式时间可判定的（polynomial-time decidable）。

       性质2 对于函数 [公式] ，有 [公式] 是FPT的当且仅当 [公式] 是图灵可判定的。

       参数化问题也可以用来区分在经典复杂度理论中等价的问题。考虑独立集问题（independent set，IS）和点覆盖问题（Vertex Cover，VC）。

       在IS中， 输入为一个无向图和正整数[公式] ，判定是否图中存在大小为 [公式] 的独立集，其中独立集是指没有边的图。而在VC中， 输入同为一个无向图和正整数 [公式] ，判定是否图中存在大小为 [公式] 的点覆盖，其中点覆盖是指原图中的一个点集 [公式] 使得每条边都至少存在一个端点在 [公式] 中。IS和VC均为经典的NP-hard问题。强调一下，这里讨论的均为（搜索问题对应的）判定型版本问题。

       我们可以发现，[公式] 是图 [公式] 的点覆盖， 当且仅当去掉 [公式] 的子图 [公式] 是独立集。因此，VC有一个大小为 [公式] 的解当且仅当IS有一个大小为 [公式] 的解。因此在以图大小来度量复杂度时，两者的复杂度是相同的。然而，我们知道，有时候我们需要求解的集合大小远小于图的规模，此时一定可以有更加高效的算法来求解。那么这两个判定是否存在大小为 [公式] 的解的问题中，哪一个更加困难呢？显然，这在参数复杂性框架中是可以讨论的。事实上VC比IS更加简单，但是本文不对此进行展开。

       此外，参数复杂性可以用来刻画对输入有限制的问题。例如，我们讨论平面图的VC问题，即限制输入的图是平面图。此问题依然是NP-hard的，我们可以定义

       [公式]

       那么便将平面图VC问题转化为一般图上的以[公式] 为参数的参数化VC问题。具体地，由于VC存在暴力算法在 [公式] 时间内求解，因此当输入为非平面图时，可以在 [公式] 的时间内求解，又由于平面图的VC有[公式]运行时间的精确算法，那么我们便得到以 [公式] 为参数的参数化VC问题总可以在

       [公式] 时间内求解。虽然这种表示换汤不换药，但是也足见参数复杂性是一个强有力的工具。

概率计算公式？

       1.题目若是要求参，一般利用联合概率密度的性质，非负性和归一性。

       2.求z的概率密度，一般先求分布函数，再求导。求导可以用暴力求导法，也可以直接积出来。

       3.求分布函数时，记得要先对参数进行分类讨论呦。

       4.二维均匀分布和二维正态分布公式要记牢。

       5.条件概率密度：限定X=x的情况下，Y在哪里到哪里取值。限定Y=y的情况下，X在哪里到哪里取值。

       6.学会凑正态。

       公式，在数学、物理学、化学、生物学等自然科学中用数学符号表示几个量之间关系的式子。具有普遍性，适合于同类关系的所有问题。在数理逻辑中，公式是表达命题的形式语法对象，除了这个命题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外。

       公式精确定义依赖于涉及到的特定的形式逻辑，但有如下一个非常典型的定义（特定于一阶逻辑): 公式是相对于特定语言而定义的；就是说，一组常量符号、函数符号和关系符号，这里的每个函数和关系符号都带有一个元数(arity）来指示它所接受的参数的数目。