1.神奇的卡塔卡塔兰(Catalan)数
2.卡特兰数（Catalan number）（二）
3.国际象棋the Closed Catalan的全面解释
4.编程实现求Catalan数.
5.卡塔兰数的公式是什么？

神奇的卡塔兰(Catalan)数

       卡特兰数(Catalan number)是一个在组合数学中频繁出现的数列，用公式表示为Cn = (1/(n+1)) * (2n choose n)。标源

       卡特兰数的塔兰前几项为1,1,2,5,,,,,,……，拥有多种定义方式。指标

       首先，源码我们有递归定义：C0 = 1，卡塔溯源码马来燕窝对于n>0，标源Cn = Σ(Ci * C(n-1-i))，塔兰0≤i≤n-1。指标

       其次，源码存在递推公式：Cn = 2 * (2n-1 choose n-1) - (2n-2 choose n-1)。卡塔

       另外，标源通项公式为：Cn = (1/(n+1)) * (2n choose n)。塔兰

       证明它们等价的指标关键在于数学归纳法。对于第一个通项公式的源码证明，我们利用二项式定理计算等式右边的系数即可。

       另外，uboot2015源码从递推公式到通项公式，可以通过直接代入和化简来实现。从通项公式到递推公式，则需要迭代计算。

       要将递归定义转化为通项公式，可以采用生成函数法。设卡特兰数的生成函数为C(x)，则可以得到一个二元方程。解这个方程，结合特定条件，可以得到通项公式。

       卡特兰数应用广泛，例如：

       在n×n的网格中，从(0,0)到(n-1,n-1)的路径数为Cn。若要求路径不能与y=x+1有交点，则路径总数为2nCn。APP比鸡源码

       括号匹配问题中，Cn表示n对括号序列的合法组合数。

       不相交弦问题中，Cn表示将圆周上2n个点两两配对且不相交的弦的组合数。

       把一个n层的矩形阶梯分为n个矩形的方法数为Cn。

       对于凸多边形的三角划分问题，Cn表示将一个凸的n+2边形划分成n个三角形的方法数。

       在计算机科学中，卡特兰数应用于二叉树的构建、先序遍历的二叉树种类数以及特定序列的匹配问题。

卡特兰数（Catalan number）（二）

       ➤ 满位置二叉树的计数

       有[公式] 个叶子节点的满位置二叉树（即每个节点有0或2个子节点，且左子节点和右子节点是不同的）的计数问题，相当于有 [公式] 个内节点的满位置二叉树的计数问题。

       例如[公式] 时，有如下5种不同的满位置二叉树。

       ➤ 矩阵连乘顺序

       假设矩阵序列[公式] 满足对于任意 [公式] ，智慧重汽源码 [公式] 和 [公式] 都是可乘的。

       由于矩阵乘法满足结合律，因此计算矩阵连乘积的不同的计算次序（每次计算都是两个矩阵相乘得到一个结果矩阵）。

       例如[公式] 时有如下5种计算次序。

       如果将“加括号”的乘法次序使用树来表示，就得到了有[公式] 个叶子节点的满位置二叉树。

       ➤ 正多边形的三角剖分

       不解释了，直接看例子吧。

       正5边形有如下5种不同的三角剖分。

       对于正[公式] 边形，固定某一条边，包括该边的三角形作为根，其他三角形作为其他内点，其他边作为叶子。相邻三角形代表的内点之间连线、其三角形代表的spring加载源码解析内点和该三角形中属于原来多边形的边之间连线，则得到有 [公式] 个叶子节点的位置二叉树。

       ➤ 阶梯形的矩形剖分

       使用[公式] 个矩形拼成 [公式] 阶梯形。

       考虑[公式] 阶梯形的 [公式] 个“尖”（下图左中的**方格），一定每一个都恰好属于一个分剖的矩形。

       考虑顶端（下图左中的红色方格），它一定和某一个“尖”同属一个矩形。于是这个矩形将大的阶梯形分成左右两个小阶梯形（允许0阶梯形的存在）（例如下图右）。

       例如[公式] 时，包含顶端的矩形有如下6种可能：

       递归地将这个矩形“顶端”和左右两个小阶梯形的“顶端”相连，最终得到“阶梯形的矩形剖分”和“位置二叉树”之间的对应。

       用[公式] 表示 [公式] 阶梯形剖分成 [公式] 个矩形的方法数，则由于包含顶端的矩形将大的阶梯形分成左右两个小阶梯形，于是有

       [公式] 。

       例如由下图可得：[公式] 。

       设[公式] ，则有

       [公式]

       整理得到[公式] ，解得 [公式] 。经过简单验算后可以舍弃 [公式]，于是由 [公式] （牛顿二项式定理）整理得： [公式] ，即：

       [公式] 。

       ——这就是著名的卡特兰数（Catalan number），它们因比利时数学家Eugène Charles Catalan (–)而命名。

国际象棋the Closed Catalan的全面解释

       卡塔兰开局有两种。

       开放卡塔兰 (open catalan/ catalan) 和 锁闭卡塔兰 （closed catalan)。

       开放卡塔兰比锁闭卡塔兰要少用的很多， 因为c4 的黑兵很难保护下来，早晚得丢。

       1.d4 Nf6

       2.c4 e6

       3. g3 d5

       4. Bg2 dxc4

       5. Nf3 Be7

       6. o-o o-o

       7. Qa4 a6!

       8. Qxc4 b5

       9. Qc2 Bb7

       .Bf4/Bg5/Bd2 白方都可以走。

       锁闭卡塔兰：

       1. d4 Nf6

       2. c4 e6

       3. g3 d5

       4. Qc2 c6

       5. Bg2 Be7

       6. Nf3 o-o

       7. o-o

       卡塔兰总体来说是个非常安全的开局。

编程实现求Catalan数.

       我是递推来的，h(n+1)=h(n)*(4n-2)/(n+1)。

       求全部的话应该是最佳的。

       // DEV-C++ 4.9.9.0编译通过

       #include <iostream>

       using namespace std;

       #define MAX 

       #define BASE 

       void multiply(int a[],int len,int b)

       {

           for(int i=len-1,carry=0;i>=0;--i)

           {

               carry+=b*a[i];

               a[i]=carry%BASE;

               carry/=BASE;

           }

       }

       void divide(int a[],int len,int b)

       {

           for(int i=0,div=0;i<len;++i)

           {

               div=div*BASE+a[i];

               a[i]=div/b;

               div%=b;

           }

       }

       int main()

       {

           int i,j,h[][MAX];

           memset(h[1],0,MAX*sizeof(int));

           for(i=2,h[1][MAX-1]=1;i<=;++i)

           {

               memcpy(h[i],h[i-1],MAX*sizeof(int));//h[i]=h[i-1];

               multiply(h[i],MAX,4*i-6);//h[i]*=(4*i-6);

               divide(h[i],MAX,i);//h[i]/=i;        

           }

           while(cin>>i,i>0&&i<) 

           {

               for(j=0;j<MAX&&h[i][j]==0;++j);

               for(printf("%d",h[i][j++]);j<MAX;++j) printf("%d",h[i][j]);printf("\n");

           }    

           system("pause");

           return 0;

       }

卡塔兰数的公式是什么？

       卡特兰数的递归公式是:F(n)=∑(k=1,2...n)F(k-1)*F(n-k)=∑(k=0,1,2...n-1)F(k)*F(n-k+1)。卡特兰数的一般公式是:F(n)=C(2n,n)/(n+1)。

知识拓展

卡塔兰数

       首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。同时，我们假定，从开始到栈第一次出到空为止，这段过程中第一个出栈的序数是k。特别地，如果栈直到整个过程结束时才空，则k=n

       卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。

要又快又准确地做好数学题，可以以下几个方法：

第一，掌握基本概念和公式。

       在做数学题之前，先要熟悉相关的基本概念和公式，对于常见的数学题型掌握其解题思路和相关的公式非常重要。这样，你在解题的过程中就可以快速地运用相应的知识点，提高解题的准确性。

第二，培养良好的计算技巧。

       在做数学题时，良好的计算技巧可以帮助你更快地解题。例如，掌握基本的四则运算技巧，熟练使用计算器等工具，可以减少计算错误带来的时间浪费。此外，合理地利用近似值和化简等方法，也可以大大简化复杂的计算过程。

第三，注重练习和实战。

       数学题需要不断地练习和反复实战才能提高，只有通过大量的实践才能熟练掌握解题技巧。建议你多做各种类型的数学题，并根据错题来找出自己的薄弱环节，有针对性地进行强化练习。

第四，注意阅读题目。

       在做数学题之前，仔细阅读题目是非常重要的。要仔细理解题目的要求和条件，标注关键信息，明确要解决的问题。只有理解清楚题目，才能有针对性地选择解题方法，并避免因理解错误而导致的解答错误。

       综上所述，要又快又准确地做好数学题，除了掌握基本概念和公式外，还需要培养良好的计算技巧，注重练习和实战，注意阅读题目，建立逻辑思维能力。通过不断的实践和积累，相信你会在数学题上有所突破。